Tensor liniowa jednorodna funkcja: wektor wektor b=f(a) a ( ˆ) [ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ. Równanie b=f(a) można więc zapisać w postaci

Transkrypt

1 ensor f liniow jenoron funkj: wektor wektor =f f f f W nm ukłie współręnh i,j,k - tensor jko mier f ˆ ˆ i j kˆ f ˆ i f ˆ j f kˆ le f iˆ [ˆ if ˆ i ˆjf ˆ i kf ˆ ˆ] i ˆ [ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f j if j jf j kf ˆ] j f kˆ [ˆ if kˆ ˆjf kˆ kf ˆ kˆ] Równnie =f możn wię pisć w posti

2 Zpis ˆ j tkże pisowi ~ iˆ kˆ jest równowżn pisowi f ˆ jest m-tą skłową funkji f iłjąej n r-t wersor mr m r Prkł: moment pęu, prwo Hooke

3 Smetri tensor mr rm tensor smetrn 6 nieleżnh skłowh tensor ntsmetrn nieleżne skłowe mr rm Równnie włsne Sególn prpek: li - równnie włsne opertor Rowiąniem jest =, h że ~ ~ et et - równnie n li ~ et ~ Dl mier smetrnej wsstkie pierwistki są rewiste.

4 Śl mier, r et & Z rugiej stron, pisują równnie -go stopni w formie leżnej o jego rowiąń,, mm Poniewż pierwistki rowiąni nie leżą o ukłu współręnh, wię współnniki w równniu & też nie leżą o ukłu.,, = > Prkł: moment pęu Osie główne pręt

5 Prkł: moment ewłnośi l. ienkiego pręt oś orotu Złóżm, że l nej orientji pręt ~ I gie [ ]=m kg. Równnie włsne m postć et 9 6 =,, Istnieje ukł współręnh o tkiej orientji, że tensor jest mierą igonlną. Jest to tw. ukł osi głównh. Jk skierowne są te osie? I ~ I ij

6 Są to rowiąni równni włsnego, tw. wektor włsne, po jenm l kżej : = == v = v Oś skierown po jenkowm kątem o OX, O, OZ. u: oś pręt Dwie osie skierowne po kątem prostm o v=.

7 ensor nprężeń stress normlne stne Element ojętośi ośrok iągłego W kżm punkie ośrok r możem wielić element ojętośi. Kżemu kierunkowi normlnej o powierhni opowi sił iłją n tę powierhnię. S S, S, S wektor powierhni, normln =prostopł o powierhni, o ługośi równej polu powierhni Wgonie jest oróżnić skłowe sił włuż S i iłjąe stnie: ~ F ~ S F ensor nprężeń li li i j S ij j F F F i n F s S ij j

8 Njprostse stn nprężeń jenoronh ~ Roiągnie > lu śisknie < włuż osi OZ ~ iśnienie hrosttne < ~ Śinnie proste w płsźnie XY Uwg: tensor nprężeń jest smetrn, o sum momentów sił =

9 ~ Prkł: łóżm, że l nej orientji elementu ojętośi skłowe tensor są ~ Istnieje tk orientj ukłu współręnh, że tensor jest igonln. Wrtośi włsne njujem równni sekulrnego ~ et ,, 4

10 W wróżnionm ukłie współręnh tlko sił normlne o powierhni są różne o er. 4 ~ Nprężeni śinjąe są równe ero. Jk nleźć kierunki th osi? Są to wektor włsne. Prkł: njownie wektor włsnego l = Zkłją =, mm ==-. Sukn wektor włsn jest 4 v

11 ensor okstłeń strin Okstłenie = min wjemnej oległośi punktów ośrok. Dw sąsienie punkt ośrok P, Q po okstłeniu => P, Q r PQ,, r r r Q P => r ~ ensor okstłeń : ~ ~ ksi, et, et j j ij i r j ij i r li li

12 Kż tensor możn prestwić w posti sum ęśi smetrnej i ęśi ntsmetrnej: / / / / / / / / / / / / f h g h f g j h f g h f e g j h g f e

13 Młe presunięie elementu ośrok iągłego skł się : - trnslji nie je wkłu o - orotu ęść ntsmetrn tensor okstłeń - eformji ęść smetrn tensor okstłeń ~ Zwse istnieje lokln ukł współręnh ukł osi głównh, w którm. Okstłeni jenorone: eformj nie leż o r.

14 Prkł: okstłenie ojętośi,, r r r V V V V V / Wglęn min ojętośi Jeżeli kstłt się nie mieni, to

15 Wniosek: ojętość leż tlko o. Wniosek: W ukłie osi głównh kże okstłenie możn prestwić jko sumę min ojętośi i min kstłtu: / / / gie poniewż. = +

16 Okstłenie posti OY ~ OX

17 eori sprężstośi - njprosts prkł : Energi potenjln osltor hrmoninego np. ms n sprężnie w poliżu położeni równowgi może ć rowinięt w sereg lor U U k... U F Sił którą sprężn ił n osltor W położeniu równowgi sił równ się eru, le wię =. F Prłożon sił ewnętrn F prowi o tkiego whleni położeni równowgi, sił równowżł się: k li F k F

18 eori sprężstośi - ogólniej W prpku okstłeń oskonle sprężsth okstłenie jest liniową funkją nprężeń. Prwo Hooke ij Sijkl kl kl li ij S ijkl kl potność sprężst ompline tensor 4-go ręu Możn też npisć ij ijkl kl kl li ij ijkl kl stwność stiffness tensor 4-go ręu

19 Prwo Hooke możn wrić pre tensor -go ręu, jeśli tensor nprężeń i tensor okstłeń prestwim w posti wektorów W ogólnm prpku tensor m nieleżnh skłowh.

20 Dl ił iotropowh ostją tlko wie skłowe: gie, są nne jko tw. współnniki Lmégo. Mouł Young Stł Poisson E

21 Stłe E, możem mierć np. roiągją pręt włuż osi OX. Jeżeli jen różn o er skłow nprężeni w ośroku iotropowm jest, to mm prwo oekiwć że. Z prw Hooke o je Porównują to wormi oświlnmi otrmujem wiąki E i i. L L E F S